2021石家莊鐵道大學高等代數(shù)研究生考試大綱
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2021石家莊鐵道大學高等代數(shù)研究生考試大綱 正文
《高等代數(shù)》考試大綱一、考試的總體要求
高等代數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、信息與計算科學專業(yè)和統(tǒng)計學專業(yè)的一門重要的基礎課,通過考試,考察學生對本課程的基本理論、基本方法和基本技能的掌握程度,考察學生抽象思維、邏輯推理的能力,應用所學知識分析、解決問題的能力,通過各學科綜合平衡,選拔優(yōu)秀學生入學深造。
二、考試的內容及考查比例
第一章、多項式(7%)
1.理解數(shù)域,多項式,整除,最大公因式,互素,不可約,k重因式,重因式的概念;了解多項式環(huán),本原多式,字典排序法,對稱多項式,初等對稱多項式,齊次多項式,多項式函數(shù)等概念。
2.掌握整除的性質,帶余除法定理,最大公因式定理,互素的判別與性質,不可約多項式的判別與性質,多項式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代數(shù)基本定理,高斯引理,Eisenstein判別定理,對稱多項式基本定理。
3.掌握無重因式的充要條件,判別條件,復數(shù)域、實數(shù)域及有理數(shù)域上多項式因式分解理論,有理多項式的有理根范圍。
4.熟練運用輾轉相除法,綜合除法。
第二章、行列式(5%)
1.了解行列式的概念,理解行列式的子式,余子式及代數(shù)余子式的概念。
2.掌握行列式的性質,按行、列展開定理,Gramer法則,Laplace定理,行列式乘法公式。
3.熟練運用行列式的性質及展開定理計算行列式,掌握計算行列式的基本方法。
第三章、線性方程組(10%)
1.理解向量線性相關,向量組等價,極大無關組,向量組的秩,矩陣的秩,基礎解系,解空間等概念。
2.掌握線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構。
3.熟練運用行初等變換求解線性方程組的方法。
第四章、矩陣(15%)
1.理解矩陣的概念,了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱陣、反對稱陣的概念及其性質。
2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置,以及它們的運算規(guī)律。
3.理解逆矩陣的概念,掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件。理解伴隨矩陣的概念,掌握伴隨矩陣的性質。
4.掌握矩陣的初等變換、掌握初等矩陣的性質,理解矩陣等價的概念,熟練運用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。
5.理解分塊矩陣,掌握分塊陣的運算及初等變換。
第五章、二次型(5%)
1.理解二次型的概念及二次型的矩陣表示,了解二次型秩的概念,掌握二次型的標準形、規(guī)范形的概念及慣性定律。
2.掌握用合同變換、正交變換化二次型為標準形的方法。
3.掌握二次型和對應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別法。
第六章、線性空間(20%)
1.理解線性空間,子空間,生成子空間,基底,維數(shù),坐標,過渡矩陣,子空間的和與直和等概念。了解線性空間同構的概念。
2.掌握基擴張定理,維數(shù)公式,掌握直和的充要條件。
3.熟練運用概念求基底,維數(shù),坐標,過渡矩陣。
第七章、線性變換(18%)
1.理解線性變換,特征值,特征向量,特征多項式,特征子空間,不變子空間,線性變換的矩陣,相似變換,相似矩陣,線性變換的值域與核,Jardan標準形,最小多項式等概念。
2.掌握線性變換的性質,相似矩陣的性質,特征值、特征向量的性質,核空間與值域的性質,不變子空間的性質。掌握Hamilton-Cayley定理及將線性空間V分解成A–不變子空間的條件和方法,了解最小多項式理論。
3.熟練運用線性變換的矩陣表示方法,求線性變換的特征值、特征向量的方法,矩陣可相似對角化的條件與方法。掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法,會用各種特殊子空間解決相關問題。
第八章、--矩陣(5%)
1.理解--矩陣的秩,可逆--矩陣,--矩陣的初等變換,行列式因子,不變因子,初等因子等概念,了解--矩陣的標準形。
2.掌握--矩陣可逆的充要條件,--矩陣等價的充要條件,數(shù)字矩陣相似的充要條件,了解Jordan標準形的理論推導。
3.會求--矩陣的標準形及不變因子。會求數(shù)字矩陣的Jodan標準形。
第九章、歐幾里得空間(15%)
1.掌握內積,歐氏空間,向量長度、夾角、距離、度量矩陣、標準正交基、正交補、正交變換、正交陣、對稱變換、同構等概念。
2.掌握Schmidt正交化方法。掌握標準正交基的性質,正交變換的性質,正交陣的性質,對稱變換的性質及標準形。
3.掌握實對稱陣的特征值、特征向量的性質。熟練運用正交相似變換將實對稱陣相似(合同)對角化。
石家莊鐵道大學
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